点集大小的思考_实变函数分析第一章节”集合和点集”

实变函数分析 –third edition 周民强

引

在和馨讨论一些常见的点集的大小的时候，陷入了争论。因为本身不是数学专业，很多概念很模糊，遂找来这本书阅读了第一章节。其实这本书的主要目的还是积分、测度和分析，但作为对点集和集合简单知识介绍的第一章，对解决我大部分的困惑已经是足够了

问题是这样的：

“一条线段和一条射线之间点集大小的比较？比如集合$[0,1]$与$( 0,+\infty )$“

映射与Contor定理

映射

定义 映射$f$对于每一个$x\in X$，均存在唯一的$y\in Y$与之对应,称这个对应关系为映射,
$$
f:X\rightarrow Y
$$
显然这样的集合对应关系被称为单射，同样如果此映射满足对应任意$y\in Y$存在$x\in X$与之对应，这样的映射被称为满射。如果既单又满则称为双射，也就是两个集合之间的一一对应关系！

集合大小的比较

对于两个集合的比较，一个常见的思路的就是讲元素拿出来，一个对上一个然后比较，如果哪一个集合多出来，那么这个集合明显是多于另外一个集合的。对于有限集这个不是问题，拿出来简单比较就好了，而对于无穷个元素的无限集该怎么比较？正好借助映射，我们只要找到一个能够把其元素一一对应起来的映射，那么就可以说这两个集合对等即$A\sim B$.

一个证明集合之间的对等关系的重要定理-Cantor-Bernstein定理将在下面介绍

引理-集合在映射下的分解 若$f:X\rightarrow Y$,$g:Y\rightarrow X$,有分解
$$
X=A\bigcup A^{\sim},Y=B\bigcup B^{\sim}
$$
其中$f(A)=B,g(B^{\sim})=A^{\sim},A \bigcap A^{\sim}=\oslash,B \bigcap B^{\sim}=\oslash$

这个的证明附在下面

这个证明有处疑点，是子集E的存在性存疑。我自己用分类讨论的情形试图证明了一下，待完善。整体思路是寻找A与B之间支持双射的集合。

如果在这个引理成立的基础上，Cantor-Bernstein定理就不言而喻了

Cantor-Bernstein定理 若集合$X$与$Y$的某个真子集对等，$Y$与$X$的某个真子集对等，则$X\sim Y$

Proof 对等即存在两个集合之间双射(不用说肯定满足上面引理的存在映射的条件)，即根据引理，存在分解
$$
X=A\bigcup A^{\sim},Y=B\bigcup B^{\sim}, f(A)=B, g(B^{\sim})=A^{\sim}
$$
根据上面提到的对等的关系，$f,g$均为双射。即存在$g^{-1}(A^{\sim})=B^{\sim}$,其次$A\bigcap A^{~}=\oslash$,那么存在一个映射
$$
F(X)=\left\lbrace
\begin{array}{lc}
f(x) & x \in A \\
g^{-1}(x)&x\in A^{\sim}
\end{array}
\right.
$$
使两个集合对等，即$X\sim Y$

实际问题

从这里解决问题*”一条线段和一条射线之间点集大小的比较？比如集合$[0,1]$与$(0,+\infty )$*” 已经是明显了，因为集合$(0,1)$和$(0,+\infty)$存在映射函数$\frac{1}{x}-1$的缘故是对等。现在如果能证明$(0,1)$和$[0,1]$是对等的，问题就得证。而这两个集合的对等性简单的引用一下Cantor定理即可.

$(0,1)$和$[0,1]$ 之间的一一对应的映射函数

我查阅了资料发现给出这两个集合之间的映射函数的方式有很多，这里给出一种

$$
F(x)= \left\lbrace \begin{array}{lc}
0 , x=\frac{1}{2} \\
\frac{1}{n} , x =\frac{1}{n+2}，n \in N^+ \\
x , besides
\end{array}
\right.
$$

思考

对等关系和集合包含关系的不同？

可以既包含又对等